Bol som úbohé dieťa, ktoré vyrastalo na literatúre a k matematike a prírodovedám sa správalo, akoby mohli chytiť mor. Preto je dosť zvláštne, že som sa vo výsledku stal človekom, ktorý sa každý deň zaoberá trojitými integrálmi, Fourierovými transformáciami a perlou matematiky, Eulerovou rovnicou. Je ťažké uveriť, že z človeka, ktorý má z matematiky doslova vrodenú fóbiu, som sa stal profesorom strojárstva.
Jedného dňa sa ma jeden z mojich študentov spýtal, ako som to urobil: ako som zmenil mozog. Chcel som odpovedať: „Do čerta, bolo to nesmierne ťažké!“Napokon som nemohol robiť matematiku a prírodovedné predmety na základnej, strednej a strednej škole. Po pravde, matematiku som začal navštevovať až potom, čo ma ako 26-ročného prepustili z armády. Keby existoval príklad potenciálu flexibility v mozgu dospelých, stal by som sa Modelom č.
Štúdium matematiky a prírodných vied v dospelosti mi otvorilo dvere do sveta mnohých možností - strojárstva. V dospelosti ťažko dosiahnutá zmena môjho mozgu mi poskytla pohľad z prvej ruky na neuroplasticitu, ktorá je základom učenia dospelých. Príprava na doktorandskú dizertačnú prácu v systémovom inžinierstve, našťastie, spojila obrovský obraz rôznych disciplín STEM (veda, technológia, inžinierstvo, matematika) a potom na ďalší výskum a prácu zameranú na štruktúru ľudského myslenia mi pomohla pochopiť posledné uvedené objavy v neurovedách a kognitívnej psychológii súvisiace s procesom učenia.
Odkedy som získal titul Ph. D., mojimi rukami prešli tisíce študentov, študenti základnej a strednej školy verili, že posvätným talizmanom porozumenia matematike je aktívna diskusia. Verí sa, že ak môžete ostatným vysvetliť, čo ste sa dozvedeli, napríklad nakreslením obrázka, pochopíte to.
Japonsko sa stalo obdivuhodným a emulovaným príkladom týchto metód aktívneho učenia sa „porozumenia“. O mínuse tohto konceptu sa však často nehovorí: Japonsko sa tiež stalo rodiskom kumonskej metódy výučby matematiky, ktorá je založená na memorovaní, opakovaní, vtesnávaní a práci na tom, ako dieťa tento materiál ovláda. Tento intenzívny mimoškolský program (a ďalšie podobné programy) dychtivo prijali rodičia v Japonsku a na celom svete, ktorí dopĺňajú online vzdelávanie svojich detí mnohými praktikami, opakovaním a, samozrejme, prepracovaným napĺňaním, aby mali slobodu zvládnuť tento predmet.
V Spojených štátoch dôraz na porozumenie niekedy nahradzuje inú staršiu metódu, ktorú používajú (a používajú) vedci: na štúdium matematiky a prírodných vied musíte pracovať s prirodzeným procesom mozgu.
Posledná vlna vzdelávacích reforiem v matematike sa týka povinných školských osnov: ide o pokus stanoviť silné a jednotné štandardy v celej Amerike, hoci kritici poukazujú na to, že štandardy neobstoja v porovnaní s krajinami s najlepšími výsledkami. Prinajmenšom povrchovo poskytujú normy primeranú perspektívu. Predpokladajú, že v matematike by mali mať študenti rovnaké koncepčné vedomosti, plynulosť v riešení problémov a schopnosť ich aplikovať.
Úlovok samozrejme spočíva v uskutočňovaní vecí. V súčasnej atmosfére vzdelávania je memorovanie a opakovanie v disciplínach STEM (v porovnaní so štúdiom jazyka alebo hudby) často považované za ponižujúcu stratu času zo strany študentov aj učiteľov. Mnoho učiteľov sa už dlho učilo, že koncepčné vedomosti sú v disciplínach STEM kľúčové. Pre učiteľov je skutočne jednoduchšie zapojiť študentov do diskusie o matematickej téme (a ak sa to podarí správne, lepšie porozumie), ako je zdĺhavé hodnotiť vykonané domáce úlohy. Z toho vyplýva, že plynulosť zručností a schopnosť ich uplatnenia sa musia rozvíjať rovnako ako koncepčné znalosti, čo sa často nestane. Najdôležitejšie je šírenie koncepčných znalostí, najmä v drahocenných časoch triedy.
Propagačné video:
Ťažkosti so zameraním na porozumenie spočívajú v tom, že na hodinách matematiky a prírodovedných predmetov môžu študenti často pochopiť dôležitý bod, ale tieto vedomosti môžu rýchlo uniknúť bez toho, aby sa ustálili v praxi a opakovali. Aby toho nebolo málo, študenti si často myslia, že niečomu rozumejú, aj keď v skutočnosti tomu tak nie je. Zdôraznením dôležitosti porozumenia môžu učitelia nechtiac tlačiť svojich študentov k neúspechu, zatiaľ čo sa deti oddávajú ilúzii vedomostí. Ako mi nedávno povedal jeden študent inžinierstva (neúspešný na skúške): „Len nechápem, ako by som mohol dosiahnuť taký zlý výsledok. Keď ste mi na hodine vysvetľovali, všetkému som rozumel. “Môj študent si mohol myslieť, že tej téme vtedy rozumel, a možno to aj pochopil, ale nikdy tieto vedomosti nezaviedol do praxe, aby sa ich mohol skutočne naučiť. Nevyvinul si žiadnu rozhodovaciu schopnosť ani schopnosť aplikovať to, čo si myslí, že už pochopil.
Medzi štúdiom matematiky a prírodných vied a športovým ovládaním existuje zaujímavý vzťah. Keď sa naučíte udrieť golfovou palicou, zdokonaľujete tento pohyb neustálym opakovaním počas niekoľkých rokov. Vaše telo vie, čo má robiť, keď na to len myslí (celý blok), namiesto toho, aby si pamätalo všetky ťažké kroky, ktoré sú potrebné na udrenie lopty.
Rovnakým spôsobom, ak raz pochopíte niečo o matematike a prírodných vedách, nemusíte si to neustále vysvetľovať zakaždým, keď narazíte na nejakú tému. Nemusíte so sebou nosiť 25 guľôčok, ktoré neustále vykladáte po piatich kusoch, aby ste pochopili, že 5 × 5 = 25. V určitom okamihu to jednoducho viete naspamäť. Pamätáte si myšlienku, že stačí pridať exponenty (malé čísla napísané na vrchu), keď vynásobíte to isté číslo v rôznych stupňoch (104 × 105 = 109). Ak tento postup robíte často a riešite mnoho rôznych druhov problémov, zistíte, že dobre rozumiete príčinám aj činom, ktoré sú za týmito postupmi. Porozumenie sa rozširuje tým, že váš mozog má vybudované schémy významov. Neustále zameranie na samotné porozumenie je v skutočnosti prekážkou.
To všetko som sa dozvedel o matematike a procese učenia nie v učebniach K-12, ale na základe vlastných skúseností, keď som ako dieťa vyrastal pri čítaní Madeleine Langele a Dostojevského, ktoré študovali jazyk na jednej z popredných svetových jazykových univerzít, a potom sa zrazu stal profesor strojárstva.
V mladosti, s talentom na jazyky a s nedostatkom peňazí ani zručností, som si nemohol dovoliť ísť na vysokú školu (pôžičky na univerzitu vtedy neprichádzali do úvahy). Takže zo strednej školy som išiel rovno do armády. Miloval som štúdium cudzích jazykov už na strednej škole a armáda sa cítila ako miesto, kde ľudia dostávali peniaze za to, aby sa učili cudzie jazyky, aj keď študovali na prestížnom Vojenskom ústave cudzích jazykov, kde štúdium jazykov prerástlo v prírodovedu. Vybral som si ruštinu, pretože sa veľmi líšila od angličtiny, ale nebolo to také ťažké, že som sa ju musel učiť celé veky a naučiť sa ju rozprávať na úrovni štvorročného. Železná opona navyše vábila so svojím tajomstvom: zrazu budem môcť využiť svoje znalosti ruského jazyka a pozrieť sa,čo je za tým?
Po službe v armáde som začal prekladať pre Rusov, ktorí pracovali na sovietskych vlečných sieťach v Beringovom mori. Práca pre Rusov bola zábavná a vzrušujúca a pre migrantov to bola mierne okúzľujúca práca. Počas rybárskej sezóny idete k moru, slušne si zarobíte, neustále sa cestou opíjate, potom sa na konci sezóny vrátite do prístavu a dúfate, že vás budúci rok zavolajú späť do práce. Pre človeka, ktorý hovoril po rusky, existovala iba jedna alternatíva zamestnania - práca pre Národnú bezpečnostnú agentúru (moji priatelia z armády mi túto možnosť neustále navrhovali, ale nebola pre mňa).
Začal som chápať, že znalosť cudzieho jazyka je sama o sebe užitočnou záležitosťou, ale s obmedzeným potenciálom a množstvom príležitostí. Nikto mi neodrezal telefón, nikto nepotreboval moje znalosti o skloňovaní v ruštine. Pokiaľ som si však zvykol na morskú chorobu a občasnú podvýživu na páchnucich trauleroch uprostred Beringovho mora. Celý čas som si pamätal inžinierov, ktorí študovali vo West Pointe, s ktorými som pracoval v armáde. Ich matematický a vedecký prístup k riešeniu problémov bol v reálnom svete zjavne užitočný, oveľa užitočnejší, než by si moje predstavy o matematike v mladosti dovolili predstaviť.
Vo veku 26 rokov som teda pri odchode z armády a pri hľadaní nových príležitostí pochopil: ak naozaj chcem vyskúšať niečo nové, prečo nezačať tým, čo by mi mohlo otvoriť celý svet nových perspektív? Niečo ako strojárstvo? To znamenalo, že sa pokúsim naučiť úplne iný jazyk - jazyk kalkulu.
Keď som zle pochopil aj tú najjednoduchšiu matematiku, moje úsilie po vojne začalo obnovovacími lekciami algebry a trigonometrie. To bolo hlboko pod nulovou úrovňou väčšiny študentov univerzity. Pokusy o preprogramovanie môjho mozgu mi občas pripadali smiešne, najmä keď som sa pozrel na mladé tváre svojich mladších spolužiakov a uvedomil som si, že už opustili svoje náročné hodiny matematiky a prírodných vied, a rozhodol som sa, že im pôjdem v ústrety. Ale v mojom prípade som pri svojich skúsenostiach so zvládnutím ruského jazyka v dospelosti tušil (alebo jednoducho dúfal), že v aspektoch výučby cudzieho jazyka bude niečo, čo by som mohol použiť pri osvojovaní matematiky a prírodných vied.
Keď som sa učil ruštinu, zameral som sa nielen na porozumenie jazyka, ale aj na jeho plynulosť. Bezplatné použitie celého systému (v tomto prípade jazyka) si vyžaduje dôkladné oboznámenie, ktoré sa dosahuje výlučne opakovanou a rozmanitou interakciou s jeho prvkami. Keď sa moji spolužiaci uspokojili s jednoduchým porozumením hovorenej alebo písanej ruštiny, pokúsil som sa vytvoriť vnútorné a hlboké spojenie so slovami a štruktúrou jazyka. Neuspokojilo ma iba poznanie významu slova „rozumieť“. Sloveso som používal v praxi: neustále som ho konjugoval v rôznych časoch, používal som ho vo vetách a nakoniec som pochopil nielen to, kedy tento tvar slovesa použiť, ale aj to, kedy ho neurobiť. Trénoval som s výzvou rýchlo si spomenúť na všetky tieto aspekty a variácie. Ak neovládate tento jazyk a niekto s vami rýchlo chatuje, ako to býva v bežnej konverzácii (ktorá pri učení cudzieho jazyka znie vždy strašne rýchlo), netušíte, čo ste zač. v skutočnosti sa hovorí, aj keď technicky rozumiete každému slovu jednotlivo a štruktúre fráz. Sami samozrejme nemôžete hovoriť dostatočne rýchlo, aby vás mohli rodení hovoriaci počúvať.
Týmto prístupom (zameraním sa na plynulosť namiesto iba na porozumenie) som dostal pred všetkých v triede. Vtedy som si to neuvedomoval, ale tento prístup k výučbe jazykov mi dal intuitívne pochopiť základné základy učenia a rozvinutú kompetenciu - formovanie blokov.
Bloková formácia bola pôvodne vyvinutá v revolučnej práci Herberta Simona, kde analyzoval šach: bloky boli považované za rôzne neurálne ekvivalenty rôznych šachových schém. Neurológovia si postupne uvedomili, že špecialisti ako šachoví veľmajstri to dosiahli uložením tisícov blokov vedomostí o svojej oblasti odbornosti do dlhodobej pamäte. Veľmajstri si napríklad môžu pamätať desaťtisíce rôznych šachových vzorov. Bez ohľadu na disciplínu môžu fajnšmekri prebudiť vo svojom vedomí jeden alebo niekoľko dobre zváraných, zostavených do bloku neurálnych podprogramov, pomocou ktorých analyzujú a reagujú, keď čelia potrebe učiť sa nové veci. Úroveň skutočného porozumenia, schopnosť používať ho v nových situáciách sa objavuje iba s takou jasnosťou, úrovňou vedomostí,ktoré môžu poskytnúť iba opakovanie, memorovanie a precvičovanie.
Ako ukazujú štúdie uskutočnené medzi šachistami, lekármi záchrannej služby a stíhacími pilotmi, vo chvíľach najväčšieho stresu prichádza k rýchlemu podvedomému spracovaniu, ktoré nahradí vedomú analýzu situácie, pretože všetci títo špecialisti vyvíjajú systém neurálnych podprogramov, blokov, na hlbokej úrovni. V určitom okamihu slúži vedomé „pochopenie“toho, prečo vykonávate túto alebo tú akciu, iba ako prekážka a vedie k nie najúspešnejším rozhodnutiam. Keď som intuitívne pochopil, že medzi učením cudzieho jazyka a učením matematiky existuje súvislosť, mal som pravdu. Denné dlhodobé praktické zvládnutie ruštiny nabilo a posilnilo moje nervové spojenia a postupne som začal spájať bloky jazykových znalostí, ktoré sa dnes dajú ľahko použiť. Usporiadaním výučby do „vrstiev“(inými slovami,precvičovanie takým spôsobom, že som nielen vedel, kedy mám slovo použiť, ale aj kedy ho nepoužívať, respektíve jeho inú verziu), vlastne som použil rovnaký prístup, aký uplatňujú odborníci v matematike a prírodných vedách. Keď som v dospelosti študoval matematiku a inžinierstvo, začal som používať rovnakú stratégiu, akú som použil pri štúdiu cudzieho jazyka. Pozrel som sa na rovnosť, aby som si vzal ten najelementárnejší príklad, Newtonov druhý zákon f = ma. Vyškolil som sa v porozumení toho, čo každé písmeno znamená: f - gravitácia - znamenal tlak, m - telesná hmotnosť - vyvíjal na môj tlak akýsi odpor a a - povzbudzujúci pocit zrýchlenia. (Ekvivalentom pri učení sa ruštiny bolo nahlas vyslovenie písmen ruskej abecedy). Zapamätal som si rovnosť, aby sa mi usadila v pamäti,a mohol som sa s ním hrať. Ak boli ma a veľké čísla, ako to ovplyvnilo f, keď som ich zapojil do vzorca? Ak bolo f veľké a a bolo malé, ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti sú ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka. Ak boli ma a veľké čísla, ako to ovplyvnilo f, keď som ich zapojil do vzorca? Ak bolo f veľké a a bolo malé, ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti boli ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodné vedy, musel som pomaly, deň čo deň budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil pomocou vzorca f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka. Ak boli ma a veľké čísla, ako to ovplyvnilo f, keď som ich zapojil do vzorca? Ak bolo f veľké a a bolo malé, ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti sú ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.kedy som ich nahradil vo vzorci? Ak bolo f veľké a a bolo malé, ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti boli ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.kedy som ich nahradil vo vzorci? Ak bolo f veľké a a bolo malé, ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti boli ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti boli ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.ako to ovplyvnilo m? Ako do seba zapadali časti rovnosti? Hra s rovnosťou bola ako časovanie slovies. Začínal som intuitívne chápať, že rozmazané obrysy rovnosti boli ako báseň nasýtená metaforami, v ktorej je ukrytých veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil pomocou vzorca f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.ktorá obsahuje veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.ktorá obsahuje veľa krásnych symbolických obrazov. Aj keď som to v tom čase nenazýval tak, popravde, aby som dobre zvládol matematiku a prírodovedu, musel som pomaly, deň čo deň, budovať silné neurálne „blokové“rutiny (ako tie, ktoré som robil so vzorcom f = ma), aby som mohol ľahko použiť informácie z dlhodobej pamäte, ako to bolo v prípade ruského jazyka.ako som to urobil s ruským jazykom.ako som to urobil s ruským jazykom.
Občas mi učitelia matematiky a prírodovedných predmetov povedali, že základným kameňom ich úspechu boli stavebné bloky informácií hlboko zakorenených v mysli. Porozumenie nevytvára plynulosť vedomostí; naopak, plynulosť buduje porozumenie. V skutočnosti sa domnievam, že skutočné pochopenie zložitého predmetu vzniká iba v podmienkach jeho voľného zvládnutia.
Inými slovami, pri výučbe prírodných vied a matematiky je ľahké prejsť na vyučovacie metódy, kde sa kladie dôraz na porozumenie a je potrebné vyhnúť sa rutinnému opakovaniu a praxi, ktoré slúžia ako základ plynulosti predmetu. Ruštinu som sa naučil nielen preto, že som jej rozumel - porozumenie nie je koniec koncov taká náročná úloha, ale ľahko vám môže uniknúť. (Čo znamená ruské slovo pre „rozumieť“?) Ruštinu som sa naučil tak, že som usiloval o plynulosť cvičením, opakovaním a napchávaním, iba také napchávanie, ktoré stimulovalo schopnosť flexibilného a rýchleho myslenia. Matematiku a prírodovedu som sa učil na úplne rovnakých princípoch. Jazyk, matematika, prírodné vedy, rovnako ako takmer všetky oblasti ľudského poznania, používajú rovnaké mozgové mechanizmy.
Keď som prepukol do nového života a stal som sa elektrotechnikom a potom profesorom inžinierstva, v minulosti som nechal ruštinu. Ale 25 rokov po tom, čo som naposledy pil sovietsky trauler, sme sa s rodinou rozhodli prejsť po celom Rusku transsibírskou železnicou. Napriek tomu, že som sa tešil na tento výlet, o ktorom som dlho sníval, mal som obavy. Za všetky tie roky som ťažko vyslovil aspoň slovo v ruštine. Čo keby som ho úplne zabudla? Čo mi dali všetky tie roky zvládnutia plynulosti jazyka?
Samozrejme, keď sme prvýkrát nasadli na vlak, hovoril som po rusky ako dvojročné dieťa. Zúrivo som hľadal slová, urobil som chybu v deklinácii a konjugácii, moja niekdajšia takmer dokonalá výslovnosť sa zmenila na hrozný prízvuk. Ale základy boli položené a moja ruština bola zo dňa na deň lepšia a lepšia. Ale aj na základnej úrovni som bol schopný zvládnuť každodenné úlohy počas našej cesty. Sprievodcovia ma čoskoro začali približovať, aby som im mohol pomôcť preložiť ich pre ďalších cestujúcich. Nakoniec sme dorazili do Moskvy a nasadli do taxíka. Vodič, ako som si čoskoro uvedomil, nás bude okrádať ako lepkavý muž - viezol nás presne v opačnom smere, cez zápchy, očakával, že cudzinci, ktorí ničomu nerozumejú, budú ticho platiť sadzbou navyše hodinu. Zrazu mi unikli ruské slová,o čom nehovorím celé desaťročia. Ani som si neuvedomil, že ich poznám.
Niekde hlboko v mojej mysli zostala moja plynulosť v jazyku a vyšla v pravú chvíľu: rýchlo nás to dostalo z problémov (a pomohlo mi to nájsť iný taxík). Plynulosť umožňuje, aby sa porozumenie stalo súčasťou vedomia a objaví sa, keď to potrebujete.
Keď dnes vidím, ako veľmi u nás chýbajú odborníci na prírodné vedy a matematiku, sledujem moderné pedagogické trendy, odrážajúce sa na mojej vlastnej ceste, nad poznatkami, ktoré som získal o schopnostiach nášho mozgu, chápem, že by sme toho mohli dosiahnuť oveľa viac. Ako rodičia a učitelia môžeme použiť jednoduché a prístupné metódy na prehĺbenie porozumenia, ktoré bude užitočné a flexibilné. Môžeme tlačiť na iných ľudí i na seba, aby študovali nové odbory, ktoré sa nám zdali príliš náročné - matematika, tanec, fyzika, jazyk, chémia, hudba - a tým sa otvárajú úplne nové svety pre nás i ostatných.
Ako som sám pochopil, základom je mať základné, hlboko zakorenené bezplatné znalosti matematiky (a nielen „porozumenie“). Otvára dvere k mnohým zaujímavým špecialitám. Keď sa obzriem späť, chápem, že som nemal slepo nasledovať svoje sklony a záujmy. Moja časť, ktorá „slobodne“milovala literatúru a jazyky, bola rovnaká, vďaka ktorej som vďaka tomu milovala matematiku a prírodovedu, čo mi zmenilo a obohatilo život.