Či už načasujete, aby ste skontrolovali, ako rýchlo môžete naplniť kávovar alebo jednoducho počítať kroky do autobusovej zastávky ráno, existuje tu niečo o monotónnosti každodenného života, čo nás núti premeniť ho v hru. Obyvatelia pruského mesta Konigsberg v osemnástom storočí (ako viete, toto je Kaliningrad), boli rovnakí ako my všetci. Bola to iba hra, ktorú hrali so siedmimi mostmi v ich meste, ktoré kedysi vyvolali záujem jedného z najväčších matematikov v dejinách ľudstva.
Konigsberg bol postavený na brehu rieky Pregel (Pregolya), ktorá rozdelila mesto na štyri samostatné obytné oblasti. Ľudia sa pohybovali z jednej oblasti do druhej cez sedem rôznych mostov. Podľa legendy bolo populárnou zábavou počas nedeľných prechádzok pokus o prechod cez celé mesto, aby prešiel cez každý most iba raz. Nikto neprišiel na to, ako to urobiť, ale to neznamená, že problém nemá riešenie. Museli jednoducho ísť k tomu správnemu odborníkovi, aby ho spoznali.
V roku 1735 starosta mesta Danzig (dnes poľský Gdansk), ktorý sa nachádza 120 km západne od Konigsbergu, Karl Leonard Gottlieb Ehler napísal Leonardovi Eulerovi list, v ktorom požiadal o pomoc pri riešení tohto problému v mene miestneho profesora matematiky menom Heinrich. Kuehn. Dokonca aj vtedy bol Euler známym a veľmi úspešným matematikom - svoju prvú knihu vydal do jedného roka po tomto liste a za celý svoj život napísal viac ako 500 kníh a článkov.
Preto nie je prekvapujúce, že si Euler spočiatku myslel, že vyriešenie tohto problému bolo pod jeho dôstojnosťou a napísal ako odpoveď: „Takže, vážený pane, vidíte, že tento typ riešenia nemá prakticky žiadny vzťah k matematike, a nechápem, prečo sa zaoberáte žiadosť matematika a nie niekoho iného, pretože rozhodnutie je založené iba na zdravom rozume a nezávisí od žiadnych známych matematických princípov. ““
Nakoniec sa však Ehlerovi a Kühnovi podarilo Eulera presvedčiť a uvedomil si, že išlo o úplne nový druh matematiky - „geometriu pozícií“, dnes známu ako topológia. V topológii nezáleží na presnom tvare alebo umiestnení objektu. Existuje dokonca starý vtip, že topológ nedokáže rozoznať rozdiel medzi šiškami a šálkou kávy, pretože obe položky majú presne jednu dieru. Dovtedy sa o tejto úplne novej oblasti matematiky písalo len, ale zatiaľ nikto nepochopil, aké problémy môže vyriešiť. Sedem mostov Konigsberg bolo vynikajúcim experimentálnym potvrdením novej teórie, pretože problém nevyžadoval žiadne merania ani presné výpočty. Z komplexnej mapy mesta môžete urobiť jednoduchý a zrozumiteľný graf (diagram) bez straty akýchkoľvek dôležitých informácií.
Zatiaľ čo jeden by mohol byť v pokušení vyriešiť tento problém zmapovaním všetkých možných trás mestom, Euler si okamžite uvedomil, že táto stratégia bude trvať príliš dlho a nebude pracovať s inými podobnými problémami (čo keby tam bolo, povedzme, dvanásť) mosty?). Namiesto toho sa rozhodol na chvíľu oddýchnuť od mostov a označil krajinu písmenami A, B, C a D. Preto mohol teraz opísať cestu cez most z oblasti A do oblasti B ako AB a cestu z oblasti A cez oblasť B D ako ABD. Tu je dôležité poznamenať, že počet písmen v popise trasy bude vždy o jeden väčší, ako je počet prekrížených mostov. Trasa AB teda prechádza cez jeden most a cesta ABD prechádza cez dva mosty atď. Euler si uvedomil, že keďže v Konigsbergu je sedem mostov, ktoré ich všetky prechádzajú,trasa musí pozostávať z ôsmich písmen, čo znamená, že riešenie problému si bude vyžadovať presne osem písmen.
Potom prišiel s všeobecnejším pravidlom pomocou ešte jednoduchšej schémy. Keby ste mali iba dva nadzemné úseky, A a B a cez most ste prešli raz, potom by časť A mohla byť tam, kde cesta začala alebo kde skončila, ale v časti A by ste boli iba raz. Ak ste raz prekrížili mosty a, b a c, boli by ste v časti A presne dvakrát. To viedlo k praktickému pravidlu: ak máte párny mostík, ktorý vedie k jednej časti krajiny, musíte k tomuto číslu pridať jeden a potom vynásobte súčet dvoma, aby ste zistili, koľkokrát by sa mal tento úsek použiť počas vašej cesty. (v tomto príklade pridaním jedného k počtu mostov, tj k 3, dostaneme štyri a delením štyri po dva dostaneme dva,to znamená, že počas cesty sa prekročí časť A).
Propagačné video:
Tento výsledok priviedol Eulera späť k pôvodnému problému. Existuje päť mostov, ktoré vedú k oddielu A, takže osem písmenové riešenie, ktoré hľadá, bude musieť byť preškrtnuté trikrát. Sekcie B, C a D majú dva mosty, ktoré k nim vedú, takže každý z nich sa musí krížiť dvakrát. Ale 3 + 2 + 2 + 2 je 9, nie 8, aj keď podľa podmienok musíte prejsť iba 8 úsekmi a cez 7 mostov. To znamená, že nie je možné prejsť celým mestom Königsberg pomocou každého mosta presne jedenkrát. Inými slovami, v tomto prípade problém nemá riešenie.
Avšak, ako každý pravý matematik, Euler sa nezastavil. Pokračoval v práci a vytvoril všeobecnejšie pravidlo pre ostatné mestá s iným počtom mostov. Ak má mesto nepárny počet mostov, potom existuje jednoduchý spôsob, ako zistiť, či môžete takúto cestu urobiť alebo nie: ak je súčet počtu výskytov každého písmena označujúceho pozemok väčší ako počet mostov (napríklad pri riešení s 8 písmenami, asi uvedená vyššie), takáto cesta je možná. Ak je suma vyššia ako toto číslo, nie je to možné.
A čo párny počet mostov? V tomto prípade to všetko záleží na tom, kde začať. Ak začnete v časti A a cestujete cez dva mosty, v riešení sa dvakrát zobrazí A. Ak začnete na druhej strane, A sa objaví iba raz. Ak existujú štyri mosty, potom sa A objaví trikrát, ak bol tento úsek východiskovým bodom, alebo dvakrát, ak nebol. Vo všeobecnosti to znamená, že ak sa cesta nezačne od úseku A, musí sa prekročiť dvakrát toľkokrát, ako je počet mostov (štyri delené dvoma dávajú dva). Ak cesta začína z časti A, musí sa ešte raz pretínať.
Géniovo Eulerovho riešenia nespočíva ani v odpovedi, ale v metóde, ktorú použil. Bol to jeden z prvých prípadov teórie grafov, známy tiež ako teória sietí, veľmi vyhľadávaná oblasť matematiky v dnešnom svete plná dopravných, sociálnych a elektronických sietí. Pokiaľ ide o Königsberg, mesto skončilo ďalším mostom, vďaka ktorému bolo Eulerovo rozhodnutie kontroverzné, a potom počas druhej svetovej vojny zničili väčšinu mesta britské sily. Mesto aj rieka dnes majú nové názvy, ale starý problém existuje v úplne novom odbore matematiky.
Igor Abramov